1. Кинетическая модель биоэлектрокатализа

При анализе эффектов ускорения электродных процессов ферментами в первую очередь необходимо учесть гетерогенный характер системы. В работе [528] дан анализ биоэлектрокаталитических эффектов на основе следующей идеализированной модели. Предполагалось, что фермент равномерно распределен по поверхности электрода с поверхностной концентрацией E_S (м/см²), при этом лимитирующей стадией процесса является ферментативная реакция

(4.1)

где ES - фермент-субстратный комплекс; Е (ne‾) - состояние активного центра фермента, акцептировавшего (или лишенного) электронов. Предполагалось, что поверхность с иммобилизованным ферментом однородна и равнодоступна. С учетом существования на границе раздела фаз твердое тело - движущаяся жидкость диффузионного слоя толщиной δ_d в стационарном состоянии величина удельного тока, снимаемого с электрода, определяется уравнением

(4.2)

где [S^δ] - концентрация субстрата в объеме; θ - безразмерный модуль, определяемый по уравнению

(4.3)

где D - коэффициент диффузии субстрата; F - число Фарадея; n - число переносимых электронов на молекулу субстрата.

Величина отношения [S⁰]/[S^δ] ([S⁰] - концентрация субстрата у поверхности электрода) дается уравнением

(4.4)

Это отношение определяет концентрационную поляризацию электрода

(4.5)

Использование уравнения (4.3) при известных константах ферментативной реакции и макрокинетических характеристиках δ_d и D позволяет рассчитать каталитические свойства электрода. Модуль 0 и отношение [S^δ]/K_M регулируют, в какой области - диффузионной или кинетической - работает система. В зависимости от величины этих параметров отношение [S⁰]/[S^δ] может быть близко к единице или много меньше единицы.

1. Если θ << 1, т. е. мал кинетический параметр k_кат/К_М, или мала поверхностная концентрация фермента E_S, или мало отношение δ_d/D, отношение [S⁰]/[S^δ] равно единице. В этих условиях вне зависимости от [S⁰] концентрация субстрата на поверхности равна его объемной концентрации. Система работает в кинетическом режиме. Величина тока прямо пропорциональна поверхностной концентрации фермента. В предел при "насыщающих" концентрациях субстрата [S^δ]K_M величина снимаемого с электрода "каталитического" тока равна

(4.6)

2. Если θ >> 1, в зависимости от отношения К_М/[S^δ] величина [S⁰]/[S^δ] может быть соизмерима или много меньше единицы. При соизмеримых величинах К_М и [S^δ]

(4.7)

Однако, если K_M[S^δ] << 1, так что (K_M/[S^δ])θ << 1, [S⁰]/[S^δ] → 1). Таким образом, необходимым условием того, чтобы система работала в диффузионном режиме, является θ >> 1, необходимым и достаточным

(4.8)

В таком случае удельный предельный диффузионный ток равен

(4.9)

где Р - проницаемость диффузионного слоя:

(4.10)

Как и обычную гетерогенно-каталитическую реакцию в рамках рассмотренной модели процесс электрокаталитического переноса электронов можно охарактеризовать коэффициентом каталитической эффективности

(4.11)

который зависит от диффузионного модуля θ и внешней концентрацией субстрата (рис. 57). При высоких концентрациях субстрата и θ < 1 коэффициент эффективности близок к единице, [S⁰]/(S^δ] ≈ 1, Δφ_конц = 0. При низких концентрациях субстрата и высоких значениях диффузионного модуля коэффициент эффективности дается уравнением

(4.12)

Рис. 57. Каталитическая эффективность гетерогенного катализатора как функция модуля θ при различных значениях S^δ/K_M: 1 - 0,1; 2 - 0,2; 3 - 0,5; 4 - 1,0; 5 - 10 [528]

Проведенный анализ позволяет сделать несколько выводов:

1. Предельный "каталитический" ток, который должен наблюдаться при θ << 1, определяется поверхностной концентрацией и эффективностью каталитического действия фермента. При монослойном заполнении поверхности электрода белком средних размеров поверхностная концентрация его соответствует ∼1⋅10^-11 м/см². Если лимитирующая константа скорости ферментативного превращения близка к 10³ с^-1, предельный каталитический ток будет равен 1 мА/см².

Важно подчеркнуть, что кинетический режим работы электрода может достигаться либо уменьшением диффузионного модуля (при данной активности и концентрации фермента, что означает уменьшение δ_d) или при заданном макрокинетическом режиме работы путем увеличения концентрации субстрата. В кинетическом режиме отсутствует концентрационная поляризация электрода.

2. На основе уравнения (4.9) можно оценить величину предельного диффузионного тока. Для численной оценки примем, что проницаемость диффузионного слоя равна 10^-3 см/с. Это соответствует массопереносу компонента с коэффициентом 5⋅10^-6 см²/с через диффузионный слой 50 мкм. По порядку величины принятый коэффициент диффузии соответствует значениям, характерным для диффузии низкомолекулярных веществ в водных растворах. Толщина диффузионного слоя при проведении эксперимента с истинно равнодоступной поверхностью, каковой является вращающийся дисковый электрод, соответствует скорости вращения 10 об/с [529]. Предельный диффузионный ток, который должен наблюдаться при работе электрода в диффузионном режиме (θ >> 1, [S^δ] << K_M), равен 0,1 мА/см² при [S^δ]∼10^-3 м/л. Эта оценка подчеркивает важность макрокинетических характеристик электрода.

3. Представляет интерес оценка минимальной концентрации активных центров электрокатализатора на поверхности электрода, позволяющая перевести реакцию в диффузионный режим при предельных кинетических параметрах каталитической стадии. Как известно, предел скорости биомолекулярных реакций в растворе и соответственно предел бимолекулярных стадий каталитических реакций есть скорость молекулярной диффузии молекул в растворе, характеризуемая константой скорости 10¹⁰ М^-1⋅с^-1. Пределом параметра k_кат/К_М для ферментативных реакций также является эта величина. Для "проницаемость" диффузионного слоя δ_d около 10^-3 см/с минимальная концентрация активных центров, "работающих" с k_кат/К_М = 10¹⁰ М^-1⋅с^-1, дается неравенством

(4.13)

При концентрации активных центров выше 1⋅10^-6 м/см² скорость каталитической стадии настолько высока, что кинетика процесса в целом определяется диффузией субстрата. Очевидно, что в этих условиях очень небольшая доля поверхности может выполнить каталитическую функцию. Если в качестве катализатора выступает атом (или группа атомов) металла на поверхности электрода, как это наблюдается, например, в реакциях на платиновых электродах, и если катализ протекает с k_диф = 10¹⁰ М^-1⋅с^-1, доля "каталитически активных" атомов равна 10^-8.

При электрокатализе ферментами в силу полимерного характера катализаторов степень заполнения поверхности электрода катализатором существенно выше. Если принять, что при плотной упаковке с образованием монослоя поверхностная концентрация фермента равна 10^-11 м/см², при работе фермента с k_кат/K_М = 10¹⁰ М^-1⋅с^-1, степень заполнения поверхности равна 10^-3%.

В реальных системах для различных ферментов значения k_кат/K_М варьируются в широких пределах от 10⁹ М^-1⋅с^-1 до 10² М^-1⋅с^-1 (см. главу II). Условно все ферменты можно разбить на три основные группы: 1 - малоактивные, имеющие k_кат/К_М < 10⁴ М^-1⋅с^-1, 2 - активные с k_кат/K_М в диапазоне 10⁷-10⁴ М^-1⋅с^-1 и 3 - высокоактивные, для которых k_кат/K_М выше 10⁷ М^-1⋅с^-1. При заданных выше макрокинетических характеристиках (Р = 10^-3 см/с) для ферментов третьей группы при монослойном заполнении поверхности электрода и при использовании концентраций субстрата, соизмеримых с K_М, скорость ферментативной реакции будет существенно превышать скорость диффузии, и фермент работает в строго диффузионном режиме. Существенное уменьшение поверхностной концентрации фермента вплоть до 1% заполнения поверхности не должно заметно изменить регистрируемую скорость процесса.

Ферменты первой группы в силу низких значений k_кат/K_М при любой концентрации субстрата будут работать в кинетическом режиме. При этом скорости реакции и соответственно каталитические токи относительно невелики. Резервы в увеличении эффективности действия ферментов этого класса лежат в получении полислоев катализаторов.

Очевидно, что ферменты, имеющие кинетические параметры в промежуточной области 10⁷ М^-1⋅с^-1 < k_кат/K_М 10⁴ М^-1⋅с^-1, в зависимости от условий эксперимента могут проводить реакцию как в диффузионном, так и в кинетическом режиме.

Таким образом, анализ кинетической модели действия ферментов в электрохимической системе показывает, что при использовании ферментов могут быть реализованы весьма высокие плотности токов. При этом наиболее существенно, что при работе в каталитическом режиме отсутствует концентрационная поляризация и имеются широкие возможности увеличения характеристик электрода за счет макрокинетических факторов.